Palindrome

Mes amis me connaissent comme amateur de mots étrangers, surtout lorsqu’il s’agit de jeux avec des expressions et des chiffres.
Les palindromes se prêtent particulièrement bien à flatter ma vanité. Les mots étrangers ont un certain charisme. Leur emploi montre discrètement de l’éducation et du savoir. S’ils mènent à des jeux, le plaisir est d’autant plus agréable.
Qu’est-ce que c’est qu’un palindrome? Le terme vient du grec et signifie vers l’arrière. Le palindrome est un mot, une phrase ou même tout un poème qui a un sens aussi bien en le lisant vers l’avant que vers l’arrière. Voici quelques exemples:

A
ARA
OTTO
RADAR
SERRES
RETATER
RESSASSER

Ces mots ont le même sens en les lisant vers l’avant ou vers l’arrière. Il y a aussi des palindromes dont le sens change lorsqu’on inverse la direction de la lecture:

UN-NU
LEON-NOEL
SNOB-BONS
TRACE-ECART
EPATER-RETAPE

Dans ma jeunesse, élève de l’école primaire à Fribourg, j’ai découvert le palindrome suivant:
Un roc lamina l’animal cornu

Regrettable pour le pauvre bouquetin, mais il faut noter qu’il s’agissait de

un roc si biscornu

Les palindromes sont généralement des mots courts, de 4 à 6 lettres. Voici les trois les plus longs (9 lettres) de la langue française qui en compte 91 au total.

 

                  RESSASSER
             (Répéter sans cesse)
              ESSAYASSE
              (Imparfait du subjonctif d’essayer)
              MALAYALAM
              (Langue de l’Inde)

La notion de palindrome ne se limite pas à la langue. En chimie par exemple, l’acide adipique, un composant du Nylon, est un palindrome.
HOOC-CH2 -CH2 -CH2 -CH2-COOH

Il y a aussi des palindromes en musique, des pièces qui donnent la même mélodie lorsqu’on joue la partition vers l’avant ou vers l’arrière. En génétique, les séquences palindromes influencent la conformation de l’ADN.
Dans la théorie des chiffres les palindromes jouent un rôle important. Je me limiterai aujourd’hui à ceux qui concernent le système décimal.
Au format de deux chiffres, on trouve neuf palindromes [11, 22, 33 ….. 77, 88, 99].
A trois chiffres il y en a 90 [101, 111, 121 ….. 979, 989, 999] et à quatre il s’y ajoutent 90 autres palindromes [1001, 1111, 1221 …. 9779, 9889, 9999].

En élevant au carré des nombres composés uniquement du chiffre 1 on crée une suite particulièrement esthétique de palindromes.

12                           1
112                         121
1112                       12321
11112                      1234321
111112                    123454321
1111112                  12345654321
11111112                1234567654321
111111112              123456787654321
1111111112            12345678987654321

Après cette introduction je me permets de vous inviter, chère lectrice, cher lecteur, à participer aux calculs suivants.

Le nombre de Kaprekar
Sa valeur est 6074.
En 1949 le mathématicien D.R. Kaprekar a fait la découverte suivante.

 

  1. On choisit un nombre à 4 chiffres différents [abcd, a<b<c<d].
  2. On note le nombre le plus grand et le plus petit composables par ces quatre chiffres [dcba et abcd].
  3. On calcule la différence de ces deux nombres. Il se peut que le nombre résultant soit 6174 [dcba-abcd=6174?]

 

Si ce n’est pas le cas, on établit le nombre le plus grand et le plus petit composables par les quatre chiffres de la différence et les soustrait l’une de l’autre. On répète cette procédure jusqu’à obtenir le chiffre 6174. Au pire cela nécessite sept étapes. On arrive toujours à 6174!

Premier exemple
Le nombre choisi soit 1746.
1. pas: 7641-1467= 6174! 

Deuxième exemple
Le nombre choisi soit 5644.
1. pas: 6544-4456=2088
2. pas: 8820-0288=8532
3. pas: 8532-2358=6174 

Essayez le troisième exemple vous-même. Le nombre choisi soit 7652. Il faudra sept pas. Amusez-vous bien. [Source: Spektrum der Wissenschaft 1978] 

La présomption Collatz

Le problème Collatz, appelé aussi présomption (3n+1), est un mystère mathématique non résolu, établi par le mathématicien Lothar Collatz en 1937. Il ne s’agit pas de palindromes. Mais il est intéressant quand-même puisque chaque série librement établie finit par le cycle 4, 2, 1, un phénomène dont personne à ce jour n’a pu prouver la raison.
Il s’agit de suites de chiffres conçues selon une loi simple:
          Commence par un nombre naturel quelconque n>0
          si n est pair, prends n/2
          si n est impair, prends 3n+1.
          Répète la procédure avec le nombre obtenu. 

Exemple 1:
Le premier nombre est 16
La suite est: 16, 8, 4, 2, 1.

Exemple 2:
Le premier nombre est 19
La suite est: 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Apparamment toute suite aboutit au cycle 4, 2, 1. Je vous invite à calculer une suite impaire avec un nombre naturel quelconque. [Source: Spektrum der Wissenschaft 4/1984].  

Avant de terminer, voici une méthode pour créer des palindromes par addition.
          Prends un nombre naturel
          Etablis le nombre inversé
          Additionne les deux
          Inverse le nombre résultant
          Additionne à nouveau les deux nombres           

La plupart des nombres de départ produisent ainsi un palindrome après un certain nombre d’étapes de calcul.
Exemple:
Nombre: 84 / nombre inversé: 48
Première addition: 84+48= 132
Nombre 132 / nombre inversé 231
Deuxième addition: 132+231=363! Hourra! Un palindrome! 

Nous voilà arrivés à la fin. Beaucoup de noms étrangers nous ont accompagnés. Nous avons rencontré des logiques étonnantes. Pratiqué des jeux avec des lettres et des chiffres. Ce qui nous a procuré un bonpasse-temps tout en réclamant un peu de jugeote.
Merci d’y avoir participé. Ma montre numérique affiche 23:32. C’est l’heure du dodo.

 

 

 


                                                                

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